高等数学A（专业必修课）教学大纲
（2018版）
衡 水 学 院
二〇一九年四月
目 录
《高等数学A1》教学大纲..........................................................1
《高等数学A2》教学大纲..........................................................5
《高等数学A1》理论教学大纲
开课单位：数计学院 适用对象：理工
课程性质：专业必修课 课程号：ZB163001
学时：72 学分：4
开课学期：第一学期 先修课程：无
一、课程定位和目标
(一）课程定位：高等数学是各理工科专业的一门重要的学科基础课，为学生系统的提供高等数学基础知识，传授必要的基础理论和常用的思维方法，并为后继课程的学习奠定必要的数学基础。
（二）课程目标：
1、知识目标：通过课程的学习，使学生获得极限、一元微分、一元积分等方面的基本概念、基本理论和基本技能。
2、能力目标：培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力、综合解题能力、数学建模与实践能力以及自学能力。
3、素质目标: 能够把理论知识与应用性较强实例有机结合起来，培养学生的逻辑思维能力并能用数学知识解决实际问题。同时使学生对高等数学知识能力有深入的理解，尤其使学生对高等数学知识与专业理念与实际技能之间的联系有进一步的了解,并且培养学生用数学知识解决实际问题和爱岗敬业与团队合作的基本素质。
二、课程教学内容和基本要求
各教学环节学时分配表
序号 |
教学单元名称 |
讲课 |
1 |
函数与极限 |
16 |
2 |
导数与微分 |
10 |
3 |
微分中值定理与导数的应用 |
16 |
4 |
不定积分 |
14 |
5 |
定积分 |
8 |
6 |
定积分的应用 |
8 |
合计 |
|
72 |
（一）单元名称 函数与极限
1、教学内容：映射与函数、数列的极限、函数的极限、无穷大与无穷小、极限运算法则、极限存在准则 两个重要极限、无穷小的比较、函数的连续性与间断点、连续函数的运算与初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质
2、教学重点：数列的极限，函数的极限，极限运算法则，两个重要极限，连续函数的运算。
3、教学难点：极限存在准则，无穷小的比较，闭区间上连续函数的性质。
4、教学要求：
（1）学生掌握内容：数列的极限，函数的极限，极限运算法则，两个重要极限，无穷小的比较。
（2）学生理解内容：极限存在准则，极限的连续性与间断点，连续函数的运算与初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。
（3）学生了解内容：映射与函数，无穷大与无穷小。
（二）单元名称 导数与微分
1、教学内容：导数的概念、函数的求导法则、高阶导数、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率、函数的微分
2、教学重点：导数的概念，函数的求导法则，高阶导数，函数的微分。
3、教学难点：隐函数及由参数方程所确定的函数的导数，相关变化率。
4、教学要求:
（1）学生掌握内容：函数的导数，高阶导数，函数的微分。
（2）学生理解内容：函数的求导法则，隐函数及由参数方程所确定的函数的导数。
（3）学生了解内容：相关变化率。
（三）单元名称 微分中值定理与导数的应用
1、教学内容：微分中值定理、罗比达法则、泰勒公式、函数的单调性与曲线的凹凸性、函数的极值与最大值、最小值、函数图形的描绘、曲率
2、教学重点：微分中值定理，洛必达法则，函数的单调性，函数的极值与最值。
3、教学难点：泰勒公式，函数的凹凸性，函数图形的描绘。
4、教学要求:
（1）学生掌握内容：微分中值定理，洛必达法则，函数的极值与最值，。
（2）学生理解内容：泰勒公式，函数的单调性与凹凸性，函数图形的描绘。
（四）单元名称 不定积分
1、教学内容：不定积分的概念与性质、换元积分法、分部积分法、有理函数的积分、积分表的使用
2、教学重点：换元积分法，分部积分法。
3、教学难点：不定积分的概念与性质，有理函数的积分。
4、教学要求:
（1）学生掌握内容：换元积分法，分部积分法。
（2）学生理解内容：不定积分的概念与性质，
（3）学生了解内容：有理函数的积分，积分表的使用。
（五）单元名称 定积分
1、教学内容：定积分的概念与性质、微积分基本公式、定积分的换元法和分部积分法、反常积分
2、教学重点：微积分基本公式，定积分的换元法和分部积分法。
3、教学难点：定积分的概念与性质，反常积分。
4、教学要求:
（1）学生掌握内容：微积分基本公式，定积分的换元法和分部积分法。
（2）学生理解内容：定积分的概念与性质。
（3）学生了解内容：反常积分。
（六）单元名称 定积分的应用
1、教学内容：定积分的元素法、定积分在几何学中的应用、定积分在物理学中的应用
2、教学重点：定积分的元素法。
3、教学难点：定积分在几何学中的应用，定积分在物理学中的应用。
4、教学要求:
（1）学生掌握内容：定积分在几何学中的应用。
（2）学生理解内容：定积分的元素法。
（3）学生了解内容：定积分在物理学中的应用。
三、教学组织与方法
在具体的教学环节中，以课堂讲授为主，精讲多练，注重理论联系实际，注重抽象问题具体化，多讲实例来帮助理解高度的抽象，加大习题的练习力度，以加深对概念和公式的理解和掌握；注重讨论课与习题课，以提高学生独立思考和解决问题的能力。注重学生探索精神和创新意识的培养，努力实现学生知识、能力、素质的协调发展。
高等数学的教学除体现本课程严密的逻辑体系外，也要反映数学知识在现代科学中的应用，借以提高学生的学习兴趣。同时也要反映数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。教学过程中可采用问题式教学，激发学生去观察、思考，他们在学习过程中才能表现出能动性、自主性、创造性，积极探索问题的解决方案，并力图克服一切困难，发展其创造性思维。
根据教育发展的趋势和教学改革的要求，在本课程的教学过程中，应逐步引入现代化教学手段。 除教材外，应给学生指定相关的参考书，以拓宽学生的知识面。建议本课程每章安排章节测验，期末考试实行教考分离。
四、课程考核与成绩评定
通过考试的手段不仅要考查学生对基本概念及性质、计算方法的掌握、理解的是否准确、全面、熟悉，而且要考查学生运用这些知识处理具体问题的综合、创造、归纳、概括等能力，以检查是否达到教学要求，完成了教学大纲所提出的目标、任务。
课程的考核分为两部分：平时考核和期末考核，总评成绩满分为100分。
平时考核占总成绩的40%，其中包括：平时作业（20%），考勤（10%）和平时测验（10%）三个部分。期末考试占总成绩的60%，采用闭卷、笔试方式进行，试卷总分100分，答题时限为110分钟。
全套以100分计，客观性试题占40分左右，主观性试题占60分左右，客观性试题包括填空题、选择题；主观性试题包括证明题、计算题和应用题。
根据教学目标，对能力层次划分为“识记能力、理解能力、简单应用能力、综合应用能力”四个层次：
1.识记：要求能够识别和记忆有关知识点的主要内容并能够根据考核的不同要求做出正确的表述、选择和判断，比例20%左右。
2.理解：要求能够领悟和理解本课程中规定的有关知识点的内涵与外延，熟悉其内容要点和它们之间的区别和关系，并能根据考核的不同要求，做出正确的解释和论述，比例40%左右。
3.简单应用：要求能够运算本课程所学的知识，分析和解决一般的应用问题，30%左右。
4.综合应用：要求能够运用本课程所学的知识，综合分析和解决较复杂的应用问题，比例10％左右。
五、教材和教学参考材料
建议教材：
同济大学数学系.《高等数学》第七版. 高教出版社，2014.
参考书目：
同济大学数学系.《高等数学附册 学习辅导与习题选解》第七版.高教出版社，2014
大纲制订人：周林锦
大纲审定人：安志宏
教学院长：安志宏
《高等数学A2》理论教学大纲
开课单位：数计学院 适用对象：理工
课程性质：专业必修课 课程号：ZB163002
学时：72 学分：4
开课学期：第二学期 先修课程：高等数学A1
一、 课程的定位和目标
(一）课程定位：高等数学是各理工科专业的一门重要的学科基础课，为学生系统的提供高等数学基础知识，传授必要的基础理论和常用的思维方法，并为后继课程的学习奠定必要的数学基础。
（二）课程目标：
1、知识目标：通过课程的学习，使学生获得微分方程、向量代数和空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数（包括傅里叶级数）等方面的基本概念、基本理论。
2、能力目标：培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力、综合解题能力、数学建模与实践能力以及自学能力。
3、素质目标: 能够把理论知识与应用性较强实例有机结合起来，培养学生的逻辑思维能力并能用数学知识解决实际问题。同时使学生对高等数学知识能力有深入的理解，尤其使学生对高等数学知识与专业理念与实际技能之间的联系有进一步的了解,并且培养学生用数学知识解决实际问题和爱岗敬业与团队合作的基本素质。
二、课程教学内容和基本要求
各教学环节学时分配表
序号 |
教学单元名称 |
讲课 |
1 |
微分方程 |
14 |
2 |
空间解析几何与向量代数 |
10 |
3 |
多元函数微分法及其应用 |
14 |
4 |
重积分 |
10 |
5 |
曲线积分与曲面积分 |
12 |
6 |
无穷级数 |
12 |
合计 |
|
72 |
（一）单元名称 微分方程
1、教学内容：微分方程的基本概念、可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程、可降阶的高阶微分方程、高阶线性微分方程、常系数齐次线性微分方程、常系数非齐次线性微分方程
2、教学重点：微分方程的基本概念；可分离变量的方程，齐次方程；一阶线性方程；可降阶的高阶微分方程；二阶线性微分方程解的结构；二阶常系数齐次线性微分方程及其通解，二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。
3、教学难点：齐次方程；可降阶的高阶微分方程；二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。
4、教学要求：
（1）学生掌握内容：可分离变量的方程及一阶线性微分方程的解法；二阶常系数齐次线性微分方程的解法，二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。
（2）学生理解内容：齐次方程的概念；线性微分方程解的性质及解的结构定理。
（3）学生了解内容：微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念。
（二）单元名称 空间解析几何与向量代数
1、教学内容：向量及其线性运算、数量积 向量积、曲面及其方程、空间曲线及其方程、平面及其方程、空间直线及其方程
2、教学重点：向量的概念及线性运算；空间直角坐标系，向量的坐标表达式及其运算；向量的数量积与向量积的概念，两向量垂直和平行的条件，两向量的夹角；曲面及其方程；空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影；空间平面和直线的方程及其求法，平面与平面、平面与直线、直线与直线间几何位置的判定，点到面和点到直线的距离；常用二次曲面的方程及其图形特征。
3、教学难点：曲面及其方程；空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影；空间平面和直线的方程及其求法，。
4、教学要求：
（1）学生掌握内容：向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积）；单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式及其运算；平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
（2）学生理解内容：空间直角坐标系，向量的概念及其表示；曲面方程的概念。
（3）学生了解内容：两个向量垂直与平行的条件；常用二次曲面的方程及其图形；空间曲线的参数方程和一般方程；空间曲线在坐标平面上的投影。
（三）单元名称 多元函数微分法及其应用
1、教学内容：多元函数的基本概念、偏导数、全微分、多元复合函数的求导法则、隐函数的求导公式、多元函数微分学的几何应用、方向导数与梯度、多元函数的极值及其求法
2、教学重点：多元函数的概念；偏导数的概念与计算；多元函数全微分的概念；多元函数的复合函数微分法，隐函数微分法；多元函数微分法在几何上的应用；方向导数与梯度的概念与计算；多元函数的极值及其求法，多元函数的最大值、最小值及其简单应用。
3、教学难点：多元函数的复合函数微分法，隐函数微分法；多元函数微分法在几何上的应用；方向导数与梯度的概念与计算；多元函数的最大值、最小值及其简单应用。
4、教学要求：
（1）学生掌握内容：多元函数偏导数的求法，复合函数一阶、二阶偏导数的求法，隐函数的偏导数；方向导数和梯度的计算；二元函数的极值的求法，条件极值。
（2）学生解内容：多元函数的概念；偏导数和全微分的概念；方向导数和梯度的概念；多元函数极值和条件极值的概念。
（3）学生了解内容：二元函数的极限与连续性的概念；全微分存在的必要条件和充分条件，了解二元函数线性化近似以及全微分在近似计算中的应用；曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念。
（四）单元名称 重积分
1、教学内容：二重积分的概念与性质、二重积分的计算法、三重积分、重积分的应用
2、教学重点：二重积分的概念与性质，二重积分的计算与应用；三重积分的概念与性质，三重积分的计算。
3、教学难点：二重积分的计算与应用；三重积分的概念与性质，三重积分的计算。
4、教学要求：
（1）学生掌握内容：二重积分（直角坐标情形、极坐标情形）的计算方法，会计算三重积分（直角坐标情形、柱面坐标情形、球面坐标情形）。
（2）学生理解内容：二重积分、三重积分的概念。
（3）学生了解内容：重积分的性质。
（五）单元名称 曲线积分与曲面积分
1、教学内容：对弧长的曲线积分、对坐标的曲线积分、格林公式及其应用、对面积的曲面积分、对坐标的曲面积分、高斯公式 通量与散度、斯托克斯公式 环流量与旋度
2、教学重点：第一类曲线积分的概念、性质与计算；第二类曲线积分的概念、性质与计算；格林公式及其应用；第一类曲面积分的概念、性质及计算；第二类曲面积分的概念、性质及计算；高斯公式，斯托克斯公式，散度、旋度的概念及计算。
3、教学难点：曲线积分与曲面积分的概念与计算，格林公式及应用。
4、教学要求：
（1）学生掌握内容：两类曲线积分的计算方法；格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件；两类曲面积分的计算方法。
（2）学生理解内容：两类曲线积分的概念；两类曲面积分的概念。
（3）学生了解内容：两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系；两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系；高斯公式、斯托克斯公式；散度与旋度的概念。
（六）单元名称 无穷级数
1、教学内容：常数项级数的概念和性质、常数项级数的审敛法、幂级数、函数展开成幂级数、函数的幂级数展开式的应用、函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质、傅立叶级数、一般周期函数的傅立叶级数
2、教学重点：常数项级数收敛与发散的概念，收敛级数的基本性质；正项级数的审敛法；交错级数的莱布尼茨定理，绝对收敛与条件收敛的概念；幂级数的收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域，幂级数在其收敛区间内的基本性质；简单幂级数的和函数的求法；函数的傅里叶系数与傅里叶级数，一般周期函数的函数傅里叶级数。
3、教学难点：正项级数的审敛法，幂级数收敛域的求法, 函数的幂级数展开，傅里叶级数。
4、教学要求：
（1）学生掌握内容：级数的基本性质及收敛的必要条件；几何级数与 p－级数的收敛性；正项级数的比较审敛法和根值审敛法；交错级数的莱布尼茨定理；幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域的求法；一些常见函数的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单的函数间接展开成幂级数。
（2）学生理解内容：常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念。
（3）学生了解内容：无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念；函数项级数的收敛域及和函数的概念；幂级数在其收敛区间内的一些基本性质；函数展开为泰勒级数的充分必要条件；幂级数在近似计算上的简单应用；傅里叶级数的概念和函数展开成傅里叶级数的狄利克莱定理。
三、教学组织与方法
在具体的教学环节中，以课堂讲授为主，精讲多练，注重理论联系实际，注重抽象问题具体化，多讲实例来帮助理解高度的抽象，加大习题的练习力度，以加深对概念和公式的理解和掌握；注重讨论课与习题课，以提高学生独立思考和解决问题的能力。注重学生探索精神和创新意识的培养，努力实现学生知识、能力、素质的协调发展。
高等数学的教学除体现本课程严密的逻辑体系外，也要反映数学知识在现代科学中的应用，借以提高学生的学习兴趣。同时也要反映数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。教学过程中可采用问题式教学，激发学生去观察、思考，他们在学习过程中才能表现出能动性、自主性、创造性，积极探索问题的解决方案，并力图克服一切困难，发展其创造性思维。
根据教育发展的趋势和教学改革的要求，在本课程的教学过程中，应逐步引入现代化教学手段。 除教材外，应给学生指定相关的参考书，以拓宽学生的知识面。建议本课程每章安排章节测验，期末考试实行教考分离。
四、课程考核与成绩评定
通过考试的手段不仅要考查学生对基本概念及性质、计算方法的掌握、理解的是否准确、全面、熟悉，而且要考查学生运用这些知识处理具体问题的综合、创造、归纳、概括等能力，以检查是否达到教学要求，完成了教学大纲所提出的目标、任务。
课程的考核分为两部分：平时考核和期末考核，总评成绩满分为100分。
平时考核占总成绩的40%，其中包括：平时作业（20%），考勤（10%）和平时测验（10%）三个部分。期末考试占总成绩的60%，采用闭卷、笔试方式进行，试卷总分100分，答题时限为110分钟。
全套以100分计，客观性试题占40分左右，主观性试题占60分左右，客观性试题包括填空题、选择题；主观性试题包括证明题、计算题和应用题。
根据教学目标，对能力层次划分为“识记能力、理解能力、简单应用能力、综合应用能力”四个层次：
1.识记：要求能够识别和记忆有关知识点的主要内容并能够根据考核的不同要求做出正确的表述、选择和判断，比例20%左右。
2.理解：要求能够领悟和理解本课程中规定的有关知识点的内涵与外延，熟悉其内容要点和它们之间的区别和关系，并能根据考核的不同要求，做出正确的解释和论述，比例40%左右。
3.简单应用：要求能够运算本课程所学的知识，分析和解决一般的应用问题，30%左右。
4.综合应用：要求能够运用本课程所学的知识，综合分析和解决较复杂的应用问题，比例10％左右。
五、教材和教学参考材料
建议教材：
同济大学数学系.《高等数学》第七版.高教出版社，2014.
参考书目：
同济大学数学系.《高等数学附册 学习辅导与习题选解》第七版.高教出版社，2014.
大纲制订人：高等数学课程组
大纲审定人：周林锦
教学院长：安志宏
